many / a few + [複数形の名詞]
much / a little + [不可算名詞]
a lot of / lots of + [複数形の名詞 / 不可算名詞]
これらの語は、数字を使わずに量や数を表します。どれを使うかは名詞によって決まります。数えられる名詞(books, people)か、数えられない名詞(time, money)かです。日本語では「たくさんの本」「たくさんの時間」と同じ「たくさん」で言えますが、英語では名詞の種類で語を選びます。
A lot of はどちらの名詞とも、どんな文でも使えます。Lots of も同じ意味で、少しくだけた言い方です。迷ったら a lot of を使えば間違いありません。
文の最後で、あとに名詞がないときは a lot と言います。
Many は複数形の名詞と、much は不可算名詞と使います。どちらも否定文と疑問文でよく使います。
肯定文では much より a lot of を使います。ただし too, so, very のあとなら much も自然です。
A few(複数形の名詞と)と a little(不可算名詞と)は、「少しある」という意味です。
a をつけない few と little は「ほとんどない」「あまりない」という意味で、望むより少ないことを表します。a があるかないかで「少しある」と「ほとんどない」が分かれるので注意しましょう。