する → いたす → いたします [noun] + いたします [noun] + を + いたします お + [verb ます-stem] + いたします ご + [noun] + いたします
いたします is the polite ます form of いたす, the humble する. You say it in place of します for your own actions, or your company's, when speaking to a customer, a client or a superior: it lowers your own action rather than raising theirs. It goes after a noun, after を, and at the end of the お/ご humble pattern.
A する-verb built on a noun swaps する for いたします the same way: せつめい説明する becomes せつめい説明いたします. With に, it states your choice.
It only ever describes your own side. For what the other person does, the honorific is なさいます.
Using いたします for someone you respect lowers them.
します is polite but not humble. In business, speaking to a customer or client about your own actions, いたします is the expected form. With colleagues, and in ordinary polite conversation, します is enough, and いたします would sound stiff.
When your action is done for or towards the other person – carrying their bag, calling them, showing them the way – put お before a native verb's ます-stem or ご before a Sino-Japanese noun, and end with いたします.
A few Sino-Japanese nouns take お rather than ご, among them でんわ電話 and やくそく約束. The pattern needs someone on the receiving end, so an action that touches nobody else stays as plain いたします or します: ×お歩きいたします.
おおくりしますお送りします is already humble; お送りいたします is one step more formal, and it is what you hear from shop staff and in business calls.いたします changes like any ます verb: いたしません, いたしました, and いたしましょうか to offer help.
For an ongoing action, the humble ている is しております or, more formally, いたしております. おまちしてお待ちしております is お〜する plus おる, with no いたす in it.